Cách Viết Phương Trình Dao Động Điều Hòa Và Bài Tập Vận Dụng

1. Lý thuyết về dao động điều hòa

1.1. Dao động cơ

Dao động cơ thực chất là sự chuyển động qua lại của 1 vật quanh 1 vị trí cân bằng.

Ví dụ: Sự chuyển động của dây đàn guitar hoặc con thuyền trên mặt biển.

Cách Viết Phương Trình Dao Động Điều Hòa Và Bài Tập Vận Dụng

1.2. Dao động tuần hoàn

Dao động tuần hoàn là sự chuyển động của vật sau những khoảng thời gian bằng nhau thì vật vẫn trở về vị trí ban đầu theo một hướng cũ.

Ví dụ: Sự chuyển động của con lắc đồng hồ.

Cách Viết Phương Trình Dao Động Điều Hòa Và Bài Tập Vận Dụng

2. Phương trình dao động điều hòa

2.1. Ví dụ về dao động điều hòa

Giả sử ta có M chuyển động theo chiều (+) với vận tốc của góc là $\omega , P$ hình chiếu của điểm M trên Ox.

Ta có t = 0 khi đó M có tọa độ góc $\omega +\omega t$
$\bar{OP}=x; x=OMcos(\omega t+\varphi )$
Đặt A = OM ta có $x=Acos(\omega t+\varphi)$

Trong đó:

$A,\omega t,\varphi$ là hằng số.
cosin là hàm điều hòa nên P là dao động điều hòa.

Dao động điều là loại dao động mà li độ của vật là hàm cosin hoặc sin của thời gian.

2.2. Phương trình dao động điều hòa

Ta có phương trình dao động điều hòa tổng hợp:

$x=Acos(\omega t+\varphi)$

Trong đó:

A: là biên độ dao động, ly độ cực đại của vật & A>0
$\omega t+\varphi$ : là pha của dao động tại thời điểm t (đơn vị rad)
$\varphi$ : là pha ban đầu của dao động tại t=0

2.2.1. Công thức tính biên độ dao động điều hòa

Ta có công thức tính biên độ như sau:

$A= \sqrt{x^{2}+\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}=\sqrt{(\frac{v}{\omega})^{2}+(\frac{a}{\omega^{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-v_{2}^{2}x_{1}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{2}^{2}}}$

2.2.2. Công thức tính pha ban đầu

Ta có phương trình dao động điều hòa có dạng x=acos từ đó suy ra công thức tính pha ban đầu như sau:

Tại thời điểm t = 0 ta có: $\left\{\begin{matrix} cos\varphi = \frac{x_{0}}{A}\\ sin\varphi = \frac{v_{0}}{-\omega A} \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi$

Tại thời điểm t = 0 ta có: $\left\{\begin{matrix} v_{0} = -\omega Asin\varphi \\ a_{0} = -\omega ^{2}Acos\varphi \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi$

Tại thời điểm t = t1 ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1} = Acos(\omega t_{1} + \varphi ) \\ v_{1} = -\omega Asin(\omega t_{1} + \varphi ) \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi$

Tại thời điểm t = t1 ta có: $\left\{\begin{matrix} v_{1} = -\omega Asin(\omega t_{1} + \varphi ) \\ a_{1} = -\omega^{2} Acos(\omega t_{1} + \varphi ) \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi$

3. Chu kỳ, tần số, tần số góc của dao động điều hòa

3.1. Chu kỳ và tần số dao động điều hòa

Khi 1 vật trở về vị trí cũ và theo hướng cũ thì ta nói vật đó đã thực hiện một dao động điều hòa.
Chu kỳ (T) trong dao động điều hòa chính là khoảng thời gian để vật hoàn thành 1 dao động toàn phần (đơn vị S).
Tần số (f) của dao động điều hòa là dao động tuần hoàn khi thực hiện trong một S (đơn vị 1/s hoặc Hz).

3.2. Tần số góc dao động điều hòa

$\omega$ : trong giao động điều hòa được gọi là tần số góc.
Giữa chu kỳ, tần số góc và tần số có mối quan hệ bằng công thức sau đây:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$

4. Công thức tính vận tốc, gia tốc của dao động điều hòa

4.1. Vận tốc của dao động điều hòa

Vận tốc dao động điều hòa chính là đạo hàm li độ theo thời gian. Từ đó ta có viết phương trình vận tốc như sau:

$V=X'=-\omega Asin(\omega t+\varphi )$

Vận tốc dao động điều hòa thường biến thiên theo thời gian.
$x=\pm A$ thì V=0
x=0 thì $V=V_{max}=\omega A$

4.2. Gia tốc của dao động điều hòa

Gia tốc của dao động điều hòa chính là đạo hàm vận tốc theo thời gian.

$a=V'=-\omega^{2}Acos(\omega+\varphi)$

$\Rightarrow a=-\omega^{2}x$

Khi x = 0 thì a = 0
Khi $x = \pm A$ thì $a=a_{max}=\omega^{2}A$

5. Bài tập vận dụng lí thuyết vật lí 12 về phương trình dao động điều hòa

5.1. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Vật có dao động điều hòa với quỹ đạo là đoạn thẳng dài 12cm. Tính biên độ dao động của vật?

A. 12cm

B. - 12cm

C. 6cm

D. - 6cm

Giải:

Ta có, giá trị biên độ dao động điều hòa là:

$A=\frac{L}{2}=\frac{12}{2}=6 (cm)$

Đáp án: C

Ví dụ 2: Một vận chuyển động tròn đều có vận tốc góc π (rad/s). Hình chiếu của vật trên đường kính dao động điều hòa với tần số góc. Tính chu kì và tần số?

A. π rad/s; 2s; 0,5 Hz

B. 2π rad/s; 0,5 s; 2 Hz

C. 2π rad/s; 1s; 1 Hz

D. π/2 rad/s; 4s; 0,25 Hz

Giải:

Ta có:

$\omega= \pi (rad/s)$

Tần số góc của dao động điều hòa $\omega= \pi (rad/s)$

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}$

$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2}=0,5 (Hz)$

Đáp án: A

Ví dụ 3: PT dao động điều hòa x = - 5cos(4πt) (cm).Tính pha dao động ban đầu?

A. 5cm; 0 rad

B. 5 cm; 4π rad

C. 5 cm; (4πt) rad

D. 5cm; π rad

Giải:

Ta có:

x = -5cos(4πt) = 5cos(4πt + π)

⇒ A = 5 cm

⇒ $\varphi$ = π (rad)

Đáp án: D

Ví dụ 4: PT dao động có dạng x = 2cos(5t-π/6) (cm). Tính pha ban đầu, biên độ và pha ở thời điểm t.

Giải:

Ta có:

Biên độ dao động là: A = 2 cm

Pha ban đầu: $\varphi=-\frac{\pi}{6} (rad)$

Pha tại thời điểm t: $(5t-\frac{\pi}{6}) rad$

Ví dụ 5: Vật có dao động điều hoà chu kì T, biên độ 5 cm. Quãng đường của vật trong thời gian 2,5T là bao nhiêu?

A. 10 cm

B. 50 cm

C. 45 cm

D. 25 cm

Giải:

Ta có quãng đường của vật là:

⇒ Tổng cộng trong 2.5T vật đi được: 2x4A + 2A = 10A.

Đáp án: A

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Vật Lý

5.2. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Một vật có biên độ A = 5cm, trong thời gian 10s vật thực hiện 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật khi biết tại thời điểm ban đầu, vật ở vị trí cân bằng theo chiều dương.

Giải:

Ta có: x = A.cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- A = 5 cm

- $f = \frac{N}{t} = \frac{20}{10} = 2 Hz \rightarrow \omega = 2\pi f = 4\pi (rad/s)$

- Tại t = 0s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 5cos\varphi = 0\\v > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos\varphi = 0\\ sin\varphi < 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow$ Phương trình dao động của vật có dạng:

$x = 5cos(4\pi t - \frac{\pi }{2}) cm$

Ví dụ 2: Vật dao động với quỹ đạo 6cm, 2 giây vật thực hiện được 1 dao động, thời điểm đầu vật ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật đó.

Giải:

PT dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- $A = \frac{L}{2} = 3cm$

- T = 2s

- $\omega = \frac{2\pi }{T} = \pi (rad/s)$

Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Acos\varphi = A\\ v = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} cos\varphi = 1\\ sin \varphi = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi = 0 rad$

Vậy phương trình dao động của vật có dạng: x = 3cos( $\pi$ t) cm

Ví dụ 3: Vật dao động điều hòa có vận tốc đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì gia tốc là a = 200 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật đó.

Giải:

PT dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm.

Trong đó:

- vmax = A. $\omega$ = 20 cm/s

- amax = A. $\omega$ 2 = 200 cm/s2

$\rightarrow \omega = \frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{200}{20} = 10 rad/s$

$\rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega } = \frac{20}{10} = 2 cm$

- Tại t = 0s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương

$\rightarrow \left\{\begin{matrix} sin\varphi = 1\\ v > 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{2}$

Vậy phương trình dao động là:

$x = 2cos(10t - \frac{\pi }{2}) cm$

Ví dụ 4: Vật dao động điều hòa tại t = 0 và tần số góc 10π rad/s và có li độ x = 2√2π (cm) khi đó vận tốc của vật 20√2 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật đó.

Giải:

- Tại t = 0s vật có vận tốc là v = $20\sqrt{2} \pi$ > 0 $\Rightarrow \Phi < 0$

$\Rightarrow$ B, C còn lại A, D khác nhau A

$A = \sqrt{x^{2} + (\frac{v}{\omega })^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2})^{2} + (\frac{20\sqrt{2}\pi }{10\pi })^{2}} = 4 cm$

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với vận tốc bằng 4πcos2πt (cm/s) ở vị trí cân bằng. Xác định phương trình dao động của vật đó.

Giải:

Vì v = 4 $\pi$ cos2 $\pi$ t nên ta có

$x = 2cos(2\pi t - \frac{\pi }{2}) cm$

$cos\varphi = cos(-\frac{\pi }{2}) = 0 \rightarrow x = 0 \rightarrow |v| = v_{max}; \varphi < 0 \rightarrow v > 0$

Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = 8cos(πt + π/4) (cm). Gốc thời gian (t = 0) được chọn lúc chất điểm có li độ và vận tốc bao nhiêu?

Giải:

$cos\varphi = cos(-frac{\pi }{4}) = \frac{x}{A} = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}A = 4\sqrt{2} cm$

$v = -8\pi sin(\frac{\pi }{4}) = -4\pi \sqrt{2} cm/s$

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Li độ góc bằng 2 cm và tốc độ 40√3 cm/s. Lấy π = 3,14. Xác định phương trình dao động của chất điểm đó.

Giải:

$T = \frac{31,4}{100} = 0,314 = 0,1\pi (s) rarr; \omega = \frac{2\pi }{T} = 20 rad/s$

$A = \sqrt{x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega ^{2}}} = 4 cm; cos\varphi = \frac{x}{A} = \frac{1}{2} = cos(\pm \frac{\pi }{3})$

v < 0 rarr; $\varphi = \frac{\pi }{3}$

Ví dụ 8: Vật có dao động có f = 5 Hz. Khi t = 0, vật có li độ x = 4cm và vận tốc v = 125,6 cm/s. Viết phương trình dao động của vật?

Giải:

$\omega = 2\pi f = 10\pi rad/s; A = \sqrt{x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega ^{2}}} = 4\sqrt{2} cm$

$cos\varphi = \frac{x}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}} = cos(\pm \frac{\pi }{4}); v > 0 \rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{4}$

Ví dụ 9: Vật có dao động điều hòa theo trục Ox biên độ 5cm, chu kì 2 giây. Khi t = 0, vật đi qua O theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật?

Giải:

Ta có: A = 5 cm; $\omega = \frac{2\pi }{T} = \pi rad/s$

Khi t = 0 vật đi qua điểm cân bằng O theo chiều dương:

x = 0 và v > 0 $\Rightarrow cos\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{-\pi }{2}$

Vậy ta có phương trình dao động của vật là:

$x = 5.cos(\pi t - \frac{\pi }{2}) cm$

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa theo phương nằm ngang trên đoạn MN = 2a.Vật đi từ M-N là 1 giây. Tại thời điểm ban đầu li độ a/2 theo chiều (+). Viết phương trình dao động của vật?

Giải:

Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm M sang điểm N là 1s $\Rightarrow T = 2s \Rightarrow \omega = \pi rad/s$

Tại thời điểm ban đầu chất điểm có li độ ( $\frac{a}{2}$ ): $\frac{a}{2} = acos\varphi \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{3}$ và $\varphi = -\frac{\pi }{3}$

Do chất điểm đang đi theo chiều dương $\Rightarrow \varphi = -\frac{\pi }{3}$

Vậy phương trình dao động của chất điểm là: $x = acos(\pi t - \frac{\pi }{3})$

Nắm trọn kiến thức Vật Lý 12 ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia ngay

Trên đây là toàn bộ kiến thức trọng tâm về phương trình dao động điều hòa cũng như bài tập thường gặp trong chương trình Vật Lý 12. Để luyện tập nhiều hơn về dạng bài tập này cũng như ôn thi Lý THPT Quốc Gia em có thể truy cập địa chỉ Vuihoc.vn ngay hôm nay nhé!

Tham khảo thêm:

Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết